Hệ Phương Trình Online — Bảng Tính Trực Tuyến, Công Thức

Hệ phương trình online, giờ đây các bạn có thể giải hệ phương trình chính xác, dễ dàng với bảng tính trực tuyến của HocTapHay.Com. Từ đó tự so sánh kết quả tính ra giấy để đánh giá kết quả học tập.

Hãy Đưa Ra Biến Số

x + y + = 
x + y + = 

Làm tròn số thập phân

x =

y =

Đồ thị

Hệ Phương Trình

\ ( ax + by + c = 0 ⇒ f_1 : y = – \ frac { a } { b } x – \ frac { c } { b } \ )
\ ( dx + ey + f = 0 ⇒ f_2 : y = – \ frac { d } { e } x – \ frac { f } { e } \ )

Khái Niệm Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Số

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng : \ ( \ ) \ ( \ begin { cases } ax + by = c ( 1 ) \ \ a’x + b’y = c ’ ( 2 ) \ end { cases } \ ) Trong đó a, b, c, a ’, b ’, c ’ là những số thực cho trước, x và y là ẩn số .
Nếu hai phương trình ( 1 ) và ( 2 ) có nghiệm chung \ ( ( x_0, y_0 ) \ ) thì \ ( ( x_0, y_0 ) \ ) được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Trái lại, nếu hai phương trình ( 1 ) và ( 2 ) không có nghiệm chung thì ta nói hệ phương trình vô nghiệm .

Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản

Vận dụng quy tác thế và quy tắc cộng đại số để giải những hệ phương trình sau :
– Giải hệ phương trình bằng giải pháp thế
\ ( \ begin { cases } 3 x – 2 y = 4 \ \ 2 x + y = 5 \ end { cases } \ )
\ ( ⇔ \ begin { cases } 3 x – 2 ( 5 – 2 x ) = 4 \ \ y = 5 – 2 x \ end { cases } \ )
\ ( ⇔ \ begin { cases } 3 x – 10 + 4 x = 4 \ \ y = 5 – 2 x \ end { cases } \ )
\ ( ⇔ \ begin { cases } 7 x = 14 \ \ y = 5 – 2 x \ end { cases } \ )
\ ( ⇔ \ begin { cases } x = 2 \ \ y = 5 – 2.2 \ end { cases } \ )
\ ( ⇔ \ begin { cases } x = 2 \ \ y = 1 \ end { cases } \ )
Vậy hệ phuong trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x ; y ) = ( 2 ; 1 )
– Giải hệ phương trình bằng giải pháp cộng đại số
\ ( \ begin { cases } 3 x – 2 y = 4 \ \ 2 x + y = 5 \ end { cases } \ )
\ ( ⇔ \ begin { cases } 3 x – 2 y = 4 \ \ 4 x + 2 y = 10 \ end { cases } \ )
\ ( ⇔ \ begin { cases } 7 x = 14 \ \ 2 x + y = 5 \ end { cases } \ )
\ ( ⇔ \ begin { cases } x = 2 \ \ 2.2 + y = 5 \ end { cases } \ )
\ ( ⇔ \ begin { cases } x = 2 \ \ y = 1 \ end { cases } \ )
Vậy hệ phuong trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x ; y ) = ( 2 ; 1 )

Dạng 2: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ

1) \(\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}\\\frac{8}{x} + \frac{15}{y} = 1\end{cases}\)

2) \(\begin{cases}\frac{2}{x + 2y} + \frac{1}{y + 2x} = 3\\\frac{4}{x + 2y} – \frac{3}{y + 2x} = 1\end{cases}\)

3) \(\begin{cases}\frac{3x}{x + 1} – \frac{2}{y + 4}\\\frac{2x}{x + 1} – \frac{5}{y + 4} = 9\end{cases}\)

4) \(\begin{cases}x^2 + y^2 = 13\\3x^2 – 2y^2 = -6\end{cases}\)

5) \(\begin{cases}3\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 16\\2\sqrt{x} – 3\sqrt{y} = -11\end{cases}\)

6) \(\begin{cases}|x| + 4|y| = 18\\3|x| + |y| = 10\end{cases}\)

Dạng 3: Giải và biện luận hệ phương trình

Phương pháp giải:

– Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất so với x .
– Giải sử phương trình bậc nhất so với x có dạng : ax = b ( 1 )
– Biện luận phương trình ( 1 ) ta sẽ có sự biện luận của hệ

i) Nếu a = 0; (1) trở thành 0x = b

+ Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
+ Nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

ii) Nếu a ≠ 0 thì (1) \(⇒ x = \frac{b}{a}\), thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: \(\begin{cases}mx – y = 2m (1)\\4x – my = m + 6 (2)\end{cases}\)

Từ ( 1 ) ⇒ y = mx – 2 m, thay vào ( 2 ) ta được
\ ( 4 x – m ( mx – 2 m ) = m + 6 ⇔ ( m ^ 2 – 4 ) x = ( 2 m + 3 ) ( m – 2 ) ( 3 ) \ )

i) Nếu \(m^2 – 4 ≠ 0\) hay \(m ≠ ±2\) thì \(x = \frac{(2m + 3)(m – 2)}{m^2 – 4} = \frac{2m + 3}{m + 2}\)

Khi đó \ ( y = – \ frac { m } { m + 2 } \ ). Hệ có nghiệm duy nhất : \ ( ( \ frac { 2 m + 3 } { m + 2 } ; – \ frac { m } { m + 2 } ) \ )

ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó \(y = mx – 2m = 2x – 4\)

Hệ có vô số nghiệm ( x, 2 x – 4 ) với mọi x ∈ R

iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4. Hệ vô nghiệm

Vậy :
– Nếu m ≠ ± 2 thì hệ có nghiệm duy nhất : \ ( ( x, y ) = ( \ frac { 2 m + 3 } { m + 2 } ; \ frac { m } { m + 2 } ) \ )
– Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm ( x, 2 x – 4 ) với mọi x ∈ R
– Nếu m = – 2 thì hệ vô nghiệm

Dạng 4: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

– Giải hệ phương trình theo tham số
– Viết x, y của hệ về dạng : \ ( n + \ frac { k } { f ( m ) } \ ) với n, k nguyên
– Tìm m nguyên để f ( m ) là ước của k

Ví dụ: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: \(\begin{cases}mx + 2y = m + 1\\2x + my = 2m – 1\end{cases}\)

Hướng dẫn giải

\ ( \ begin { cases } mx + 2 y = m + 1 \ \ 2 x + my = 2 m – 1 \ end { cases } \ )
\ ( ⇔ \ begin { cases } 2 mx + 4 y = 2 m + 2 \ \ 2 mx + m ^ 2 y = 2 m ^ 2 – m \ end { cases } \ )
\ ( ⇔ \ begin { cases } ( m ^ 2 – 4 ) y = 2 m ^ 2 – 3 m – 2 = ( m – 2 ) ( 2 m + 1 ) \ \ 2 x + my = 2 m – 1 \ end { cases } \ )
để hệ có nghiệm duy nhất thì \ ( m ^ 2 – 4 \ ) ≠ 0 hay \ ( m ≠ ± 2 \ )
Vậy với m ≠ ± 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
\ ( \ begin { cases } y = \ frac { ( m – 2 ) ( 2 m + 1 ) } { m ^ 2 – 4 } = \ frac { 2 m + 1 } { m + 2 } = 2 – \ frac { 3 } { m + 2 } \ \ x = \ frac { m – 1 } { m + 2 } = 1 – \ frac { 3 } { m + 2 } \ end { cases } \ )
Để x, y là những số nguyên thì \ ( m + 2 ∈ Ư ( 3 ) = { 1 ; – 1 ; 3 ; – 3 } \ )
Vậy : \ ( m + 2 = ± 1, ± 3 ⇒ m = – 1 ; – 3 ; 1 ; – 5 \ )

Phép Tính Liên Quan

Hệ Phương Trình Online Phương Trình Bậc Hai Online Phương Trình Bậc Nhất Online

5/5 ( 1 bầu chọn )

Bài viết liên quan